четверг, 16 октября 2008 г.

Задачи Козьмы Пруткова - решение

Начнем с конца, поскольку по-видимому именно задача о температуре черных дыр оказалась наиболее интригующа.

Итак, нам нужно получить величину размерности температуры. "Общефизических" констант, включающих в себя температуру всего-ничего - постоянная Больцмана k и универсальная газовая постоянная. Постоянная Больцмана имеет размерность [LaTeX-enabled image] то есть [Энергия/Температура], универсальная газовая постоянная имеет размерность [Энергия]/([Температура]*[Количество вещества]).

Количество вещества в черной дыре вряд ли можно откуда-то вытащить, так что k - это то, что надо.

Чтобы получить температуру в числителе, k должна стоять в знаменателе:

LaTeX-enabled image

Чтобы сократить знаменатель, величина LaTeX-enabled image должна быть размерности энергии. Первое, что приходит в голову, откуда вытащить энергию - из знаменитой формулы LaTeX-enabled image.

Итак,

LaTeX-enabled image

Здесь нужно подключить некоторые физические соображения. Число в числителе чрезвычайно велико, а число в знаменателе чрезвычайно мало, то есть величина температуры должна получиться просто невероятной. И, второе, температура получается прямо пропорциональна массе дыры, то есть, дыра чем тяжелее, тем сильнее излучает, что несколько не вяжется с представлением о черных дырах.
Более вероятным кажется то, что масса должна быть в знаменателе. Перепишем выражение исходя из новых соображений:

LaTeX-enabled image

Поскольку масса сама по себе не характеризует величину гравитации, нужно включить также коэффициент, учитывающий связь массы с гравитацией - т.е. гравитационную постоянную LaTeX-enabled image

LaTeX-enabled image

Тепреь самое время вспомнить подсказку о пропорциональности искомой температуры постоянной Планка.

Домножим выражение на LaTeX-enabled image

LaTeX-enabled image


Размерность всей это беды должна в скобках должна быть LaTeX-enabled image, посмотрим, что у нас получается.
Учтем, что размерность LaTeX-enabled image:
LaTeX-enabled image,
а размерность LaTeX-enabled image - ДжоульLaTeX-enabled imageсекунда.

Тогда выражение в скобках:

LaTeX-enabled image

Отсюда очевидно, что оставшаяся величина LaTeX-enabled image должна иметь размерность скорости. А скорость у нас только одна - скорость света LaTeX-enabled image.

Итого, наше оценочное выражение получается

LaTeX-enabled image

Все формулы созданы с помощью проекта LaTeX в Web, за что выражаю ему большую благодарность.

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ.

Комментариев нет:

Отправить комментарий